微积分在十七世纪正式确立为一门独立的数学学科，在此之前，它却伴随着人类历史的进程，逐步缓慢地发展。回顾微积分的发展历程，我们可以将其划分为四个阶段：首先是早期萌芽阶段，其次是建立成型阶段，接着是成熟完善阶段，最后是现代发展阶段。

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早期萌芽时期：

1、 古西方萌芽时期：

在公元前七世纪，泰勒斯对图形的面积、体积及长度进行了探究，其中蕴含了微积分的早期理念，尽管这种理念并不十分显著。进入公元前三世纪，杰出的全能科学家阿基米德运用穷竭法，成功计算出了抛物线弓形、螺线、圆形等复杂几何图形的面积以及椭球体、抛物面体等形状的表面积和体积公式，而他所采用的穷竭法与现今微积分中的极限概念有着相似之处。此外，他成功得出了圆周率π的近似数值，阿基米德在微积分领域的发展中扮演了关键性的指导角色。

2. 古中国萌芽时期：

三国时期的刘徽创制了广为人知的“割圆术”，此法是通过将圆周与内接或外切的正多边形相接，逐步穷尽以求得圆的周长和面积。“分割得越细密，误差就越小；不断分割，直至无法再分，此时与圆周完全吻合，便不再有误差。”通过不断增多正多边形的边数，使得多边形的面积越来越接近圆的面积，这在我国的数学发展史上堪称是一项伟大的成就。

在南朝时期，祖氏父子二人成就斐然，他们不仅将圆周率的计算推进至小数点后七位，而且其精神品质尤为值得我们借鉴。值得一提的是，祖暅之还提出了著名的祖暅原理——“幂势即同，则积不容异”，这一原理指出，位于两个平行平面之间的任意两个几何体，若被任一平行于这两平面的平面所截，若截面面积相等，则这两个几何体的体积必然相等。这一原理比欧洲的卡瓦列利原理早了整整十个世纪。祖暅之运用了牟合方盖这一方法，通过其与内切球体积之比为4比Π的原理，成功计算出了球的体积，从而修正了刘徽在《九章算术注》中提出的关于球体积的错误公式。

建立成型时期：

1.十七世纪上半叶：

在这一阶段，众多科学巨匠均投身于速率、极值、切线以及面积等问题的研究，尤其是对描述运动和变化的无穷小算法的探索，他们在短短的时间内实现了显著的进步。

天文学家开普勒揭示了行星运动的三大定律，同时，他运用了无穷小求和的原理，成功计算出了曲线图形的面积和旋转体的体积。意大利数学家卡瓦列利与同代人共同揭示了卡瓦列利原理，即祖暅原理，他运用了不可分量法，推导出了幂函数的定积分公式。此外，他还成功证明了吉尔丁定理，即一个平面图形绕特定轴旋转所形成的立体图形体积，等于该平面图形重心所形成的圆周长与平面图形面积的乘积。这些成就对微积分学的发展产生了深远的影响。

此外，解析几何的奠基者，法国著名数学家笛卡尔所采用的代数技巧，对微积分的进步起到了至关重要的作用。法国杰出的数学大师费马，在探究曲线的切线以及函数的极值问题上，做出了卓越的贡献。这其中，尤为突出的是他在数学分析领域提出的费马定理：若函数f(x)在某个区间Χ内被定义，并且在该区间的内点c处取得最大（或最小）值。若在这一点上存在一个有限的导数f'(c)，那么这个导数f'(c)必须等于零。

2. 十七世纪下半叶：

牛顿这位英国科学家着手对微积分进行探究，他的研究受到了沃利斯的著作《无穷算术》的深刻影响，从而首次将代数学的范畴拓展至分析学领域。在1665年，牛顿创制了正流数术，即微分，而在第二年，他又发明了反流数术。随后，他将这两种流数术进行了归纳总结，并撰写了《流数简述》一书，这一成果的问世，标志着微积分学科的正式诞生。随后，牛顿深入探究了变量流动生成的方法，并提出了观点：变量源于点、线或面的连续运动，基于此，他将变量命名为流量，并将变量变化的速率称为流数。牛顿在发展微积分的后期阶段，摒弃了之前关于变量是静止的、由无穷小元素组成的集合的看法，不再坚持数学量由不可分割的最小单元构成的理论，转而认为这些量是由几何元素通过连续运动产生的。他不再将流数视为两个实无限小量的比值，而是将其理解为最初生成量的初始比值或消失量的最终比值，从而将他的观点从实无限小量的理论过渡到了量的无限分割过程，即潜无限的观点。

在同一时期，德国的数学大师莱布尼茨亦独立开创了微积分的领域。1684年，他公开发表了首篇关于微分的论文，对微分这一概念进行了阐述，并引入了微分符号dx和dy。到了1686年，他又推出了关于积分的论文，其中探讨了微分与积分之间的关系，并运用了积分符号∫。这一符号的创制，极大地简化了微积分的表达方式。此外，他揭示了求高阶导数的莱布尼茨法则，以及牛顿-莱布尼茨法则，这两者将微分与积分的计算方法紧密相连，他在微积分领域的成就与牛顿不相上下。

牛顿和莱布尼茨在微积分学的创立过程中扮演了至关重要的角色。我们无需争论谁是微积分的真正创始人。在数学界，这类争论实在太过无趣。每一次数学的突破都是全人类的共同财富。真正的数学家们根本不会浪费时间在这种琐事上。

成熟完善时期：

1.第二次数学危机的开始：

在牛顿和莱布尼茨的时代，微积分学逐步形成并确立，然而，任何新兴的数学理论在初期都会遭到部分人的强烈质疑，微积分学也不例外。微积分学在早期建立时存在不严谨之处，导致不少人对之进行挑剔和攻击。在这些挑战者中，英国主教贝克莱以其对求导过程中无穷小量（Δx既为零，又非零）的质疑而尤为知名，他的批判标志着第二次数学危机的正式开始。

2.第二次数学危机的解决：

危机爆发后，众多数学家开始认识到微积分理论的严密性，随之而来的是众多卓越科学家的涌现。在危机的早期阶段，来自捷克的数学家布尔查诺对函数的特性进行了深入的探讨，他首次明确提出了连续性和导数的准确定义，对序列与级数的收敛性概念进行了精确阐述，同时他还提出了著名的布尔查诺-柯西收敛原理，即：若整序变量Χn存在有限的极限，那么对于任意的正数ε，都存在一个序号N，使得当n大于N以及n'大于N时，不等式∣Χn－Χn＇∣﹤ε始终成立。

继此之后，著名数学家柯西构建了现代极限理论，将无穷小量界定为趋于零的变量，此举终结了长达百年的争议。他同时确立了函数的连续性、导数概念、连续函数的积分以及级数收敛性（与布尔查诺同步进行）。在微积分学，即数学分析领域，柯西的贡献尤为显著，包括柯西中值定理、柯西不等式、柯西收敛准则、柯西公式、柯西积分判别法等。其一生所发表的论文数量仅略逊于欧拉。此外，阿贝尔（他最大的成就在于首创逆向思维，从而拓展了椭圆积分的研究领域）强调必须严格控制对级数展开和求和的滥用，而狄利克雷则提出了函数的现代概念。

在危机的尾声阶段，魏尔斯特拉斯这位数学家提出了一个全新的概念——病态函数，这类函数虽然处处连续，却处处不可微。紧接着，又有研究者发现了另一种函数，它们处处不连续，却处处可积。这些发现促使人们对连续性与可微可积性之间的关系有了新的认识。魏尔斯特拉斯在连续闭区间的基础上，提出了第一和第二定理，并且引入了极限的ε～δ定义。这些工作使得分析的算术化基本实现，从而让分析学从几何直观的极限束缚中得以解脱，也消散了17至18世纪笼罩在微积分之上的神秘面纱。随后，在已有成果的基础上，黎曼于1854年以及达布在1875年对有界函数构建了严谨的积分体系；而在19世纪的后半段，戴金德等学者则对实数理论进行了严格的探讨。

数学分析的理论与微积分学的整体方法已稳固地构筑在坚实的根基之上，并大体上构成了一套完备的体系，同时亦为20世纪的现代分析学奠定了坚实的基础。

未完待续。