微积分发展简史

一、微积分的创立

微积分的极限概念和穷竭原理源远流长，可追溯至两千五百年前的古希腊时期。其中，毕达哥拉斯学派的研究成果尤为突出。历经长时间的积累与发展，到了17世纪，工业革命的推动下，这一理论体系在牛顿和莱布尼兹的开拓性贡献下，终于崭露头角。

自15世纪初期文艺复兴运动兴起以来，工业、农业、航海业以及古代贸易的广泛扩张，极大地推动了自然科学的迅猛发展。进入17世纪，这一进程迎来了综合性的突破阶段。在这一过程中，所遭遇的数学难题最终汇聚为四个关键问题，这些问题的解决最终催生了微积分的诞生。这四个问题分别是：

在运动过程中，探讨速度、加速度与距离三者关系的虎丘难题尤为突出，尤其是针对非匀速运动的情况；这种情况下，对瞬时变化率的研究显得尤为迫切。

曲线求切线的问题,例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等;

确定炮弹的最大射程，以及求解行星轨道的近日点和远日点等，这些问题都涉及到了寻找函数的极大值和极小值。

当然，历经千百年，人们持续探索着如何精确地测量长度、面积、体积以及确定重心等关键问题。

微分的概念源于第一、二、三问题，而积分则由第四个问题引发。在17世纪以前，微分与积分都还处于模糊不清的阶段，并且各自独立地发展。在此期间，开普勒、伽利略、费马、笛卡尔、卡瓦列里等众多学者均作出了卓越的贡献。

1669年，巴罗，牛顿的导师，出版了《几何讲义》，该书首次将几何学以言语的形式呈现出来。

“寻找切线”与“计算面积”构成了两个相互对立的数学问题。这一概念与微积分的基本原理有着密切的联系。

牛顿与莱布尼兹在微积分问世之前的时代中成长，那时巨匠们的身影已经凸显。他们之所以能够成就微积分的创立伟业，正是因为他们站在了前人的巨肩膀上，得以俯瞰全局，得以远见卓识，最终获得了真理。微积分的诞生，是经过先驱者们不懈努力，从众多工作的累积中逐渐演变而来，直至牛顿与莱布尼兹揭示了微分与积分之间的对立关系，实现了从量变到质变的飞跃。这一过程，恰逢资本主义萌芽时期，是历史条件下的必然结果。而微积分基本定理的创立，则正式宣告了微积分学科的诞生。

自1664年开始，牛顿投身于微积分的研究，深入探究了伽利略、开普勒、瓦利斯等人的作品，特别是对笛卡尔的著作进行了深入研究。在1665年5月，他创立了“正流数术”，即微分法；次年5月，他又发明了“饭流数术”，即积分法。到了1666年10月，他将这些成果整理成一篇名为《流数简论》的论文，尽管该文未曾公开发表，但却是史上第一篇系统阐述微积分的文献。将古希腊人用以解决各类问题的独特技巧归纳为两种算法体系，即正向与反向的流数术，涵盖微分与积分的计算；同时揭示这两者之间存在着相互逆反的关系，本质上是一对矛盾。此外，运用这套已确立的统一算法，可以求解曲线的切线、曲率、拐点、曲线长度、面积计算、引力及其中心等共计16类问题，充分展现了该算法的广泛适用性、系统性和强大的解题能力。

莱布尼兹在1673年提出了特征三角形概念，其中ds、dx、dy三个元素。他意识到，在求解曲线的切线时，需要考虑纵坐标和横坐标的微小差值之比，当这些差值趋于无穷小；而在计算曲线下的面积时，则需累加无穷小区间内的纵坐标值。此外，他还发现了这两个问题之间的相互逆关系。符号ds、dx、dy、dy/dx，在数学中有着重要的地位。

ò等都是属于莱布尼兹的。

牛顿与莱布尼兹之后，微积分迅猛发展，其应用遍及自然科学各领域，催生了众多以微积分为核心方法的学科分支，诸如常微分方程、偏微分方程、积分方程、变分法等，共同构成了数学三大分支之一的“分析”。微积分在几何领域的应用催生了微分几何，衍生出几何分析；在理学领域的应用，