如果你有一部智能手机，如果你在上面安装了一些软件，那么今年的春节你可能会在这样的场景中度过：

这也引发了不少网友的感慨：

最近几天，一个叫“红包接力”的游戏在不少群里流行起来。大致规则是：群里一个人先发红包，然后大家开始争抢，发红包金额最大的人继续发新一轮红包，然后循环往复。

说到这儿，你可能会问，如果继续这样玩下去，结果会怎样？我们会悄悄赚到大钱，还是错失数十亿？我们会最终实现“共同富裕”，还是沦为“寡头垄断”？要回答这些问题，我们不妨用统计模拟的方法，做一些随机实验。结果可能会让你大吃一惊。

红包初级模型-切面方法

要进行模拟实验，我们需要设置红包发放机制。但由于微信红包算法并不公开，我们必须从观察到的现象出发，“逆向”一个模型，让它尽可能与观察到的结果一致。其实，这就是科学方法的本质：我们可能永远不知道宇宙的“源代码”，但我们可以为宇宙建立一个足够好的模型。

微信红包是逐个抢的，所以很容易给人一种印象，红包里有一堆钱，第一个人闭着眼睛抢一把，第二个人再抢一把，以此类推。但如果真的这样，后面的人总体上会吃亏。这既不公平，也不符合现实生活的观察。

因此，更合理的做法是一开始就把所有的钱分成几个袋子，每个人抓一个。每个袋子大小相等，里面的钱数预计是总金额的几分之一。满足这个要求的方法肯定不止一种，但我们首先考虑最直观的方法——切面条。

如果你有一根面条，想把它随机分成 5 份，怎么分呢？闭上眼睛剁 4 下就行。用数学术语来说，就是在一条线段上随机扔 4 个点，把线段分成 5 段。

现在你需要把红包分成5份，很简单，把刚刚切好的面拿出来，按照每根面的长度，在红包里放入相应的钱。

（当然，面条是连续的，而红包是离散的——每个红包里的钱数额都是1分钱的整数倍。但当钱很多的时候，这点差别就微不足道了。如果有人发的红包全是1分钱，那最好暂停讨论，把他踢出群。）

以下以面条法分红包为例，总金额1元，分成5份：

0.，0.，0.，0.，0.

这难道不是巨大的贫富差距吗？如果红包总额是100，那么拿红包最多的人能拿到35.86元，而拿红包最少的人只能拿到2.67元。第一个人拿到了三分之一多的钱，最后一个人拿到的钱还不到三十分之一？其实，这根本不算极端。对于这种划分方法，我们可以用数学证明，当1元钱（或一根长度为1的面条）分成n份时，

第 k 个最大值预计为 1/n*(1/n+1/(n-1)+1/(n-2)+…+1/k)。（证明留作练习（已开始））

因此，最大值的期望为1/n*(1/n+1/(n-1)+1/(n-2)+…+1)，

最小值的期望是 1/n^2。

也就是说，当n=5的时候，平均下来，五个人应该分到的红包大小分别是：0.……，0.……，0.……，0.09，0.04。果然富人都在大吃大喝，穷人却在街头冻死。

嗯，虽然这可能和很多人的印象一致，但毕竟太大了，能不能加个调节杆，让红包之间的差距再小一点？

红包进阶模型——狄利克雷分布

让我们回顾一下面条切割模型的要点。

1、每次可以生成n个随机数，且和为1，所以每个数字乘以红包总金额就是每个人获得的钱数；

2 每个随机数的期望应该相等，即n分之一，才能保证每个人都有均等的抢红包的机会；

现在让我们添加第三个项目：

3 有一个参数可以用来调节红包的“公平性”。这里的公平不是指机会均等，而是指每次发红包时大家实际收到的钱数是否差不多，也就是金额分布的波动性是大还是小。比如一个100元的红包发给10个人，如果每个人给10元左右，我们就认为这种分配比较公平；如果最低只有0.8元，最高是20元，那显然是不公平的（很遗憾，笔者遇到过好几次这种情况……）。

幸运的是，在众多的随机变量分布中，有一种“狄利克雷分布”非常适合上述情况。狄利克雷分布本身有n个参数，但为了满足条件2，我们可以只用一个参数α来确定它的具体形式。α越大，每个人拿到的金额比例就越趋向平均，反之，波动性就越大。

更加幸运的是，我们一开始提出的切线带分割法，恰恰是狄利克雷分布在α=1时的最简单的状态。

（如果想更深入地了解狄利克雷分布，可以参考本文以及狄利克雷分布的维基页面。）

刚才切面条的结果，也就是α=1时狄利克雷分布生成的随机数

0.，0.，0.，0.，0.

以下是α=10时的一组随机数

0.，0.，0.，0.，0.

可以看出，当α=1时，金额分布的变异性很大，而当α=10时，金额分布就比较均匀。

模拟接力赛，开始

有了这个假设的红包发放机制，我们就可以模拟红包接力赛了。首先假设我们有一个50人的群，每个人初始可用金额50元（这个是故意调低的，以制造“破产”现象，有钱人请无视这个设定）。按照规则，每个红包总金额20元，分给10个人。抢到红包金额最大的人，将发出下一轮红包。如果有人在发出红包后余额变成负数，那么他/她就不能再继续抢红包了（请原谅这个疯狂的设定……），因为他/她已经没有能力发出下一轮红包了，但是他的余额现在为负数是允许的。

在我们的模拟中，我们还是针对实际情况做了很多简化，比如假设抢到红包的人是均匀分布在参与游戏的人当中（不包括负资产的人）。现实中每个人可能都会根据自己余额的多少来决定是否继续参与，但我们在这里忽略了这种可能性。

我们设定α=2，让红包转发100次，最后每个人的余额如下：

31.24 82.69 18.07 44.56 62.87 33.40 47.00 45.55 77.11 70.44

54.28 26.98 54.74 80.30 28.32 43.98 48.80 82.69 82.94 -11.00

34.30 80.64 60.68 47.34 40.13 52.55 23.39 62.67 92.20 72.43

41.55 40.12 50.51 81.30 51.17 43.36 34.93 64.38 42.70 -8.90

9.10 78.61 46.35 64.18 61.90 13.61 50.01 68.51 41.21 54.14

可以看到，两个朋友不幸破产了，而最后资产最多的那个人有92.20元，几乎翻了一番。一个明显的事实是，破产的玩家都中了太多的“大奖”，导致支出大于收入。相反，最后拿到92.20元的玩家却是一位“默默富有”的玩家，据统计，他中了第一名0次，第二名3次，第三名2次，第四名2次，第五名4次，以此类推。

下面我们来看看每个人的钱是如何变化的：

当然，在概率面前人人平等，谁也无法预测自己拿到的红包是最大还是最小，所以从对称性的角度看，个体选择的结果完全是随机的。但从整个群体来看，有一个指标在悄悄变化，那就是这个群体的“贫富差距”。

平均还是主导？用基尼系数来判断

我们注意到，游戏开始时，每个人的钱数都一样（50元），但经过100次接力后，大家有喜有悲，贫富差距越来越大。那么我们自然而然地有两个问题：1.如何量化这种贫富差距？2.随着游戏的进行，贫富差距会如何变化？

对于第一个问题，我们可以借用经济学中的一个概念来回答，那就是所谓的“基尼系数”。基尼系数通常用来衡量一个国家居民收入的公平性，其值在0到1之间，值越大，贫富差距越大，也就是少数人控制了这个经济体的大部分收入。基尼系数的计算公式可以在其wiki页面上找到。对于之前的模拟游戏结果，计算出的基尼系数为0.2551。

这个结果的绝对值可能意义不大，所以我们在每一轮接力赛结束后，计算了当时该组的基尼系数，并观察其变化情况，结果如下：

这里我们把接力赛的次数扩大到 500 次，可以看出随着接力赛的进行，基尼系数总体趋势是增大的，也就是说随着游戏的进行，贫富差距会越来越大。这个其实也很好理解：总会有人因为赢得太多一等奖而破产，所以财富会分给越来越少的人，因此贫富差距也会随之扩大。

红包越“公平”，贫富差距越大

前面提到，我们的模型中有一个参数α，控制着红包金额分配的“公平性”（或者更准确的说是“平均”的程度，因为从机会上来说，每个人拿到红包的几率是相同的，但是从每次实际拿到的金额上来说，α越大，分布越趋向于平均，也就是结果的波动性越小）。下图是一组随机模拟实验的结果，我们模拟了20个红包接力游戏，其中10个取α=2，另外10个取α=20，每个游戏红包被接力500次。

可以看出，虽然红线与蓝线有重合，但总体来说蓝线要大于红线。换言之，红包金额越“公平”，贫富差距就会越大。

这个结论看似违反直觉，其实是有道理的：如果红包发放绝对公平，那么第一名得2元，下一轮就得20元，总损失就是18元；如果红包金额波动较大，有些人拿到的红包会少于2元，第一名得的红包会多一些，破产的可能性就小一些。所以，一条规则是否真正“公平”，不能单凭外表来判断。