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第四章套利和资产定价

这一章跳过AD经济重新回到第二章所定义的一般均衡框架

在上一章中，我们研究了给定资产价格下的消费者决策问题。在本章中，我们尝试通过消费者的决策行为来逆推资产价格。即通过分析三类套利行为，得到基于无套利原则的资产二叉树定价方法（状态价格（贴现）、复制定价方法和风险中性定价方法）。

4.1 给定任意市场结构 4.1.1 什么样的市场结构

事实上，真实市场中一般不存在状态证券，因此我们研究一般市场结构如何影响资产价格。反过来，你也可以这样想。如果市场是完整的，那么状态相关证券必须根据当前的市场结构构建。

4.1.2 冗余证券

任何市场结构中都存在冗余证券，即可以由其他证券投资组合复制和支付的证券。这通过与其他证券的支付向量线性相关反映在市场结构中。

由于多余的证券可以被其他证券替代，因此它们对于定价毫无用处。可以免费从其他证券构建，无需交易成本。因此，本章的市场结构仅包含N个线性独立证券的支付，即该列是满秩的。请注意，市场不一定是完美的。

4.1.3 复制组合思路

考虑 N 个线性独立的组合，其中第 i 列是第 i 个组合，第 i 行是每个组合对应的第 i 个证券的支付。不难理解，如果将支付矩阵设置为H，那么H就是一个非奇异矩阵。

那么XH就是这个组合的支付，那么如果市场结构就是这个组合的支付，X也可以通过右乘H的逆矩阵来构造。我们说这两个市场结构是等价的描述。

那么副本组合的思路是什么呢？基于无套利的原则，通过构建投资组合，得到与需要定价的证券的未来支付相同的投资组合。投资组合可以看成是一种证券，那么两种证券的支付是相同的，然后根据投资组合中每种证券的权重来求解

4.1.4 AD 证券的复制

基于复制投资组合的思想，我们如何构建AD证券？显然，我们需要假设市场是完整的。也就是说，X是可逆的。

令该组合的支付在未来某个状态下为1，在其他状态下为0，即w或证券的支付，Xθ=i，i是一个向量，其中一个元素为1，其他元素为0。这样，我们就可以解决当前市场结构接下来如何构建一个投资组合，使其成为AD证券的等价描述。

4.2 套利

由于公司有限责任，股价非负（现实中也存在负价期货合约。CME原油期货（2020年5月）引发了所谓的原油宝爆仓事件。由此，我们可以看一下模型（算术布朗运动），伊藤引理，鞅，伊藤等距，随机微分方程的解，））。

如果投资组合到期时的正回报 (Xθ-S'θ) >= 0，则表示存在套利机会。该投资组合是套利投资组合。我们将套利分为三类：

公式中小于0的解是什么？允许卖空，即证券持有量为负数。

注：对无套利原则的通俗理解是套利机会通常存在，但套利或投机会使市场套利机会消失。

当然，套利的分析是建立在市场不存在交易成本的假设之上的。否则，如果套利收益小于交易成本（商品市场），投资者可能不会选择交易。

4.3 资产定价的基本原理

资产定价原则是指在无套利的假设下，资产价格为：

找到的算子称为状态价格向量。在一个完整的市场中，国家价格是独一无二的。如果不完全，就不可能找到复制w-或有证券的组合，也无法找到该组合的价值，即w-或有证券的价格。

4.3.1 证明（王江）：

下面是王江书中的证明过程：

：从第二章的基本框架可以看出，在给定复制组合，即赋予给定的条件下，资产价格S是其支付X和消费的函数，即投资组合。对于最优解，如果给定支付矩阵X，那么我们可以求解S。所以S=V(X)函数。 （从经济意义上更容易理解）

：根据无套利定价原则，一价定律成立。也就是说，如果 x=y，则有 V(x)=V(y)，其中 x 是证券 1 的支付向量，y 是证券 2 的支付向量。

证明：不存在第一类套利，即Xθ = 0，必定有S'θ>0，对于任何θ都成立

然后设 θ=(1;-1) θ'=(-1;1);表示列向量

对于θ：x=y****，即Xθ=0，S'θ=V(x)-V(y)>=0

对于θ’：x=y，即Xθ=0，S’θ = -V(x)+V(y)>=0，即当V(x)-V(y)0时，V( x)>0（简单这可以通过不存在第二类和第三类套利来证明）

当Xθ>0时，S'θ>0或S'θ 当Xθ>0时，S'θ>=0（三）

S'θ>0 意味着 V(x)>0

对于x>y且V(x)>V(y)，我们显然是想用上面的结论xy>0来证明V(x)-V(y)>0

想想构造组合 (1,-1)。组合的支付大于0，则组合的成本V(x)-V(y)>0。

(2)证明V(x)是线性算子

将三种证券的支付视为 x、y、ax+by，其中 a 和 b 是 R 中的任意常数，即 ax+by 表示 x、y 复制的任何支付。

不存在第一类套利，即一价定律。构造一个0支付组合，即套利组合(a;b;-1)。显然V(θ)=0

即aV(x)+bV(y)- V(ax+by)=0

：V(x)是正线性递增算子

所以资产定价公式为：**

4.3.2 证明（徐高）

(1)仍然是无套利定价原理，采用超平面分离定理，也叫凸集分离定理。

如果学过机器学习SVM（支持向量机）的话，所谓的超平面分离定理应该更容易理解。以二维为例，如果我们在二维平面上画两个相互分离的凸集，我们一定可以画出一条直线，在直线的两侧将两个集合分开：

最后一个方程其实很容易想象。想象一条直线并将其系数扩大μ倍。那么原来的超平面保持不变，但是如果把它上面或者下面的点带进来，它的值就会改变μ倍（右端不再等于0而是等于y）。手写证明如下：（具体可参考徐高老师的教材及课程）

4.4 风险中性定价

将我们的基本框架置于风险中性世界中仅仅是为了计算方便，并且适用于所有风险偏好的投资者。 （定价公式中不包含波动性）

4.4.1 p测度下的资产定价公式

(1)无风险证券：从前面的知识我们知道，国家价格是一个折价因素。王江《金融经济学》第二、三章汇编。

这样我们就可以得到无风险证券的价格：

我们知道给定的无风险利率为：

这就建立了国家价格与贴现系数或无风险利率之间的关系：

(2) 风险证券

如何将无风险证券的定价公式与风险证券的定价公式联系起来？我们有措施转变

4.4.2 Q测度（即风险中性测度）下的资产定价公式

在风险中性测度Q下，新公式不仅适用于有风险的证券，也适用于无风险证券，即不区分证券的风险，因此称为风险中性测度。

为了表达方便，常写成期望支付的形式（求离散情况下的期望公式）

4.4.3 Q测度下的资产定价公式为鞅

注意t的变化。该属性常用于连续的情况。这里研究的是离散情况。所谓离散鞅是源自公平赌博的概念，是指在拥有所有当前信息和历史信息的情况下，未来时刻的预期收益。通俗的理解是，如果现在的赌博是公平的，那么未来的预期收益就是0。所以鞅是一个公平的概念。 （条件期望性质）

与马尔可夫性质不同，没有后遗症（条件概率性质：未来的条件概率分布只取决于当前的概率分布，与历史时刻无关）

两者之间没有相关性。